माध्य विचलन (Mean Deviation)

माध्य विचलन श्रेणी के किसी माध्य (जैसे माध्य, माध्यिका, बहुलक) से ज्ञात किए गए मूल्यों का समांतर माध्य है। माध्य विचलन किसी श्रेणी के समस्त मूल्यों के विचलनों का माध्य है। माध्य निकालते समय (+) और (-) चिह्म पर ध्यान नहीं दिया जाता है अर्थात सभी चिह्मों को धनात्मक मान लिया जाता है। जिस श्रेणी में माध्य विचलन कम होगा, उस श्रेणी में अपकिरण भी कम होगा और जिस श्रेणी में माध्य विचलन अधिक होगा, उस श्रेणी में अपकिरण अधिक होगा। यही कारण है कि माध्य विचलन को औसत विचलन समान्तर माध्य भी कहते हैं।

    माध्य विचलन के गुण

(1) यह विचलन पदमला के सभी मूल्यों पर आधारित होता है। इससे श्रेणी की बनावट की ठीक जानकारी प्राप्त हो जाती है। 

(2) इसका माप सरल है।

(3) यह केंद्रीय प्रवृत्ति के इर्द-गिर्द श्रेणी के विचलनओं को बताता है।

(4) यह अनुमान के अतिरिक्त वास्तविक माप पर आधारित है।

(5) माध्य विचलन पर चरम या अति सीमांत पदों का कम प्रभाव पड़ता है।

(6) इसकी गणना करना सरल है और यह आसानी से समझ में आ जाता है।

(7) माध्य विचलन, मध्यक या बहुलक किसी भी माध्य से निकाला जा सकता है।

 माध्य विचलन के दोष

(1) माध्य विचलन में सभी पदों को धनात्मक मान लेते हैं। इसे निकालने में बीजगणित चिन्ह (+ व -) को छोड़ दिया जाता है।

(2) यह बीजगणित के दृष्टिकोण से अशुद्ध एवं अवैज्ञानिक है।

(3) यह एक अनिश्चित माप है क्योकि समांतर माध्य का और बहुलक के अनिश्चित होने के कारण बहुलक से निकाला गया माध्य निकट विचलन असंतोष जनक होता है।

(4) जब माध्य या मध्यका, दशमलव में आए तो इसका माप करना कठिन होता है। 

सूत्र :-

व्यक्तिगत श्रेणी

माध्य से माध्य विचलन (δ_X̅) =`\frac{\Sigma|dx\|}n`

माध्य से माध्य विचलन गुणांक `\left(\delta_\overline X\right)=\frac{\delta_\overline X}{\overline X}`

माध्यिका से माध्य विचलन (δ_M ) =`\frac{\Sigma|dx\|}n`

माध्यिका से माध्य विचलन गुणांक = `\left(\delta_M\right)=\frac{\delta_M}{M}`

बहुलक से माध्य विचलन (δ_Z )  = `\frac{\Sigma|dx\|}n`

बहुलक से माध्य विचलन (δ_Z )  = `\left(\delta_Z\right)=\frac{\delta_Z}{Z}`

खण्डित श्रेणी or सतत श्रेणी

माध्य से माध्य विचलन (δ_X̅) =`\frac{\Sigma ƒ|dx|}{\Sigma ƒ}`

माध्य से माध्य विचलन गुणांक `\left(\delta_\overline X\right)=\frac{\delta_\overline X}{\overline X}`

माध्यिका से माध्य विचलन (δ_M ) =`\frac{\Sigma ƒ|dx|}{\Sigma ƒ}`

माध्यिका से माध्य विचलन गुणांक = `\left(\delta_M\right)=\frac{\delta_M}{M}`

बहुलक से माध्य विचलन (δ_Z )  = `\frac{\Sigma ƒ|dx|}{\Sigma ƒ}`

बहुलक से माध्य विचलन (δ_Z )  = `\left(\delta_Z\right)=\frac{\delta_Z}{Z}`

व्यक्तिगत श्रेणी

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से माध्य से माध्य विचलन एवं उसका गुणांक ज्ञात कीजिए ?   

  X : 10,15,20,25,30

उत्तर :-

X	dev=20 (dx)	ldxl
10	-10	10
15	-5	5
20	0	0
25	5	5
30	10	10
=100		=30

deviation = 20Mean (X̅ ) = `\frac{\Sigma x}n` =`\frac{100}5=20`

माध्य से माध्य विचलन (δ_X̅)

=`\frac{\Sigma|dx\|}n``=\frac{30}5=6`

माध्य से माध्य विचलन गुणांक 

(δ_X̅ ) =`\frac{\delta Ẍ}Ẍ``=\frac{6}20= 0.3`

खण्डित श्रेणी

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से माध्य से माध्य विचलन एवं उसका गुणांक ज्ञात कीजिए ?

X	ƒ
2	1
4	3
3	2
2	3
1	1

X	ƒ	ƒX	dev=2.7(dx)	ldxl	ƒldxl
2	1	2	-0.7	0.7	0.7
4	3	12	1.3	1.3	3.9
3	2	6	0.3	0.3	0.6
2	3	6	-0.7	0.7	2.1
1	1	1	-1.7	1.7	1.7
	Σƒ=10	Σƒx=27			Σƒldxl=9

उत्तर :-

 Mean (X̅ ) = `\frac{\Sigma fx}{\Sigma f}` = `\frac{27}10` = 2.7

माध्य से माध्य विचलन (δ_X̅)

= `\frac{\sum f\|dx\|}{\sum f}``=\frac{9}10=0.9`

माध्य से माध्य विचलन गुणांक (δ_X̅ ) 

=`\frac{\delta Ẍ}Ẍ``=\frac{0.9}2.7= 0.3`

सतत श्रेणी

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से माध्य से माध्य विचलन एवं उसका गुणांक ज्ञात कीजिए ?

X	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ƒ	3	2	3	1	1

उत्तर :-

X	ƒ	MV X	ƒx	dev=20 dx	IdxI	ƒldxl
0-10	3	5	15	-15	15	45
10-20	2	15	30	-5	5	10
20-30	3	25	75	5	5	15
30-40	1	35	35	15	15	15
40-50	1	45	45	25	25	25
	10		200			110

Mean (X̅ ) = `\frac{\Sigma fx}{\Sigma f}` = `\frac{200}10` = 20

माध्य से माध्य विचलन (δ_X̅)

= `\frac{\sum f\|dx\|}{\sum f}``=\frac{110}10= 11`

माध्य से माध्य विचलन गुणांक (δ_X̅ ) 

=`\frac{\delta Ẍ}Ẍ``=\frac{11}20= 0.5`

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से माध्यिका से माध्य विचलन एवं उसका गुणांक ज्ञात कीजिए ?

X : 2,4,6,8,10

उत्तर :- 

S.N	1	2	3	4	5
X	2	4	6	8	10

Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

  =`\frac{5+1}2=\frac{6}2=3`

        Median = 6

      devition = 6

X	dev=6 dx	IdxI
2	-4	4
4	-2	2
6	0	0
8	2	2
10	4	4
		ΣIdxI = 12

माध्यिका से माध्य विचलन (δ_M ) 

=`\frac{\Sigma|dx\|}n``=\frac{12}5=2.4`

माध्यिका से माध्य विचलन गुणांक(ᵹ_m)

`=\frac{ᵹ_m}M=\frac{2.4}6=0.4`

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से बहुलक से माध्य विचलन एवं उसका गुणांक ज्ञात कीजिए ? 

X	4	6	8	7	6	3
ƒ	10	12	5	20	4	3

Mode = 7

devotion = 7 

X	ƒ	dev=7 dx	IdxI	ƒIdxI
4	10	-3	3	30
6	12	-1	1	12
8	5	1	1	5
7	20	0	0	0
6	4	-1	1	4
3	3	-4	4	12
	Σƒ = 54			ΣƒIdxI = 63

बहुलक से माध्य विचलन (δ_Z ) 

= `\frac{\sum f\|dx\|}{\sum f}``=\frac{63}54=1.1`

बहुलक से माध्य विचलन गुणांक(ᵹ_z)

`=\frac{ᵹ_z}Z=\frac{1.1}7=0.1`