चतुर्थक, चतुर्थक विचलन, अन्तर-चतुर्थक विस्तार (Quartile, Quartile Deviation,Inter Quartile Range)

                            

चतुर्थक (Quartile)

आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित आंकड़ों के पैमाने पर वे तीन बिंदु (चर मूल्य) जो आंकड़ों को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं जिससे प्रत्येक भाग में आवृत्तियों की संख्या समान रहे, चतुर्थक कहलाते हैं।

 किसी श्रृंखला में तीन चतुर्थक होते हैं

1. पहला अथवा निम्न चतुर्थक :- Q₁ (पहला चतुर्थक) किसी श्रेणी के वितरण को इस प्रकार बांटता है कि कुल मदो का 1/4 भाग अथवा 25% इसके मूल्य से कम तथा 3/4 भाग अथवा 75% इससे अधिक होता है।

Q₁ = Value of `\frac{n+1}4` items

Q₁ = पहला का मूल्य + `\frac{3}4`(दूसरा का मूल्य - पहला का मूल्य)

2. दूसरा चतुर्थक अथवा माध्यिका :- Q₂ (दूसरा चतुर्थक) किसी श्रेणी के वितरण को दो बराबर भागों में बांटता है। इसे माध्यिका भी कहते हैं।।

 Q₂ = Value of 2 (`\frac{n+1}4`) items

Q₂ = 3^rd  का मूल्य + `\frac{1}2` (4^th का मूल्य - 3^rd का मूल्य)

3. तीसरा अथवा उच्च चतुर्थक :- Q₃ (तीसरा चतुर्थक )श्रेणी के वितरण को इस प्रकार बांटता है कि कुल मदो का 3/4 भाग अथवा 75% इसके मूल्य से कम तथा 1/4 भाग अथवा 25% मदे इसके मूल्य से अधिक होती है।

 Q₃ = Value of 3 (`\frac{n+1}4`) items

Q3 = 5^th  का मूल्य + `\frac{1}4` (6^th का मूल्य – 5^th का मूल्य)

चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation)

चतुर्थक विचलन चतुथाशान्तर विस्तार का आधा होता है। यदि तृतीय चतुर्थक एवं प्रथम चतुर्थक के अन्तर को दो से भाग लिया जाये तो प्राप्त फल चतुर्थक विचलन होगा।

चतुर्थक विचलन = `\frac{Q_3-Q_1}2`

चतुर्थक विचलन के गुण

1. विस्तार की भांति चतुर्थक विचलन को समझना और गणन क्रिया सरल है।

2. इसका खुले सिरों वाले वितरणों में प्रयोग किया जा सकता है।

3. इसकी परिभाषा निश्चित है।

4. विस्तार की तुलना में यह अधिक विश्वसनीय है।

5. श्रेणी के मध्य भाग का अध्ययन करने के लिए इस माप का प्रयोग किया जाता है।

6. इससे प्रमाप विचलन की माप संभव है।

 चतुर्थक विचलन दोष

1. यह अपकिरण श्रेणी के सभी मदों पर आधारित नहीं है। इसमें 50% मदों की अवहेलना की जाती है।

2. इस माप में बीजगणितीय विधियों का प्रयोग करके विश्लेषण संभव नहीं है।

3. निरपेक्ष माप होने के कारण यह तुलना के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

4. निदर्शन परिवर्तनों का प्रभाव अपकिरण के इस माप पर अधिक पड़ता है।

5. यह केवल केन्द्रीय मदों पर आधारित है, चरम मूल्यों पर ध्यान नहीं देता।

अन्तर-चतुर्थक विस्तार(Inter Quartile Deviation)

समंकमाला के तृतीय चतुर्थक (Q₃)और प्रथम चतुर्थक(Q₁)के अन्तर को अन्तर - चतुर्थक कहते हैं। सूत्रों

   अन्तर-चतुर्थक विस्तार = Q₃ - Q₁

नोट :- इसको बनाने से पहले व्यक्तिगत श्रेणी और खण्डित श्रेणी  में X और f को आरोही क्रम(बढ़ते हुए) में सजा देंगे ।उसके बाद उसका f से cf(संचयी बारम्बारता)निकालेंगे।

      व्यक्तिगत श्रेणी

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से अन्तर चतुर्थक, चतुर्थक विचलन तथा चतुर्थक विचलन गुणांक निकालिए

अंक : 100,90,110,120,130,150,170,180,190,200,210

उत्तर :- 

SI	अंक
1	90
2	100
3	110
4	120
5	130
6	150
7	170
8	180
9	190
10	200
11	210

Q1 = Value of `\frac{n+1}4`  items  =  `\frac{11+1}4` = `\frac{12}4` = 3

Q1 = 110

Q3 = Value of 3 (`\frac{n+1}4`) items

Q3 = 3 (`\frac{11+1}4`)  = 3 (`\frac{12}4`) = 3(3) = 9

Q3 = 190

अन्तर-चतुर्थक विस्तार = Q₃ - Q₁ = 190-110= 80

चतुर्थक विचलन=`\frac{Q_3-Q_1}2`=`\frac{190-110}2` 

= `\frac{80}2` = 40

चतुर्थक विचलन गुणांक = `\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}` =`\frac{190-110}{190+110}`

=`\frac{80}{300}` = 0.26

प्रश्न :- निम्नलिखित आंकड़ों से अन्तर चतुर्थक, चतुर्थक विचलन तथा चतुर्थक विचलन गुणांक निकालिए

अंक

2

4

6

8

10

12

SN	1	2	3	4	5	6
अंक	2	4	6	8	10	12

Q₁ = Value of  `\frac{n+1}4`  items  =  `\frac{6+1}4` = `\frac{7}4` = 1.7

Q₁= Value of `\frac{1^{st}+2^{nd}}2` items

     =`\frac{2+4}2=\frac{6}2`=3

Q3 = Value of 3 (`\frac{n+1}4`) items

 = 3 (`\frac{6+1}4`)  =  (`\frac{21}4`) = 5.2

_Q3 = Value of `\frac{5^{th}+6^{th}}2` items

     =`\frac{10+12}2=\frac{22}2=11`

अन्तर-चतुर्थक विस्तार = Q₃ - Q₁ = 11-3 = 8

चतुर्थक विचलन = `\frac{Q_3-Q_1}2`= `\frac{11-3}2` = `\frac{8}2` = 4

चतुर्थक विचलन गुणांक = `\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}` =`\frac{11-3}{11+3}`

  =`\frac{8}{14}` = 0.57

खण्डित श्रेणी

प्रश्न :- निम्नलिखित श्रेणी से अन्तर चतुर्थक विस्तार, चतुर्थक विचलन तथा चतुर्थक विचलन के गुणांक ज्ञात कीजिए

अंक	छात्रों की संख्या
45	3
47	4
50	2
55	1
60	5
70	2
80	8
100	7

उत्तर :-

अंक	छात्रों की संख्या (ƒ)	संचयी आवृत्ति (cƒ)
45	3	3
47	4	7
50	2	9
55	1	10
60	5	15
70	2	17
80	8	25
100	7	32

Q₁ = Value of `\frac{N}4`  items  = `\frac{32}4` = 8 (cf में देखें)

Q₁ = 50

Q₃ =Value of``\frac{3N}4`items = 3 (`\frac{32}4`)= 3x8 = 24

Q₃ = 80

अन्तर-चतुर्थक विस्तार = Q₃ - Q₁ = 80-50 = 30

चतुर्थक विचलन = `\frac{Q_3-Q_1}2`= `\frac{80-50}2` = `\frac{30}2` = 15

चतुर्थक विचलन गुणांक = `\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}` =`\frac{80-50}{80+50}`

   =`\frac{30}{130}` = 0.23

सतत श्रेणी

प्रश्न :-निम्नलिखित श्रेणी से अन्तर चतुर्थक विस्तार, चतुर्थक विचलन तथा चतुर्थक विचलन के गुणांक ज्ञात कीजिए

अंक	छात्रों की संख्या
10-20	2
20-30	3
30-40	1
40-50	4
50-60	7
60-70	3

अंक	छात्रों की संख्या (ƒ)	संचयी आवृत्ति (cƒ)
10-20	2	2
20-30	3	5
30-40	1	6
40-50	4	10
50-60	7	17
60-70	3	20

Q₁ = Value of `\frac{N}4`  items  = `\frac{20}4` = 5उत्तर :-

⸫  Q₁ lise between ( 20 – 30 ) in class interval

⸫ l₁ = 20, l₂ = 30, ƒ = 3, c = 2, `\frac{N}4` = 5

= 20 +`\frac{5-2}3`( 30 –  20 )  

Q₁  = 20 +`\frac{3}3`(10 ) = 20 + 10 = 30

Q₃ =Value of`\frac{3N}4`items = (`\frac{3 X 20}4`)= 15

⸫ Q₃ lise between ( 50 – 60 ) in class interval

⸫ l₁ = 50, l₂ = 60, ƒ = 7 , c =10, `\frac{3N}4` = 15

= 50 +`\frac{15-10}7`( 60 –  50 )

 Q₃  = 50 +`\frac{5}7` (10 ) = 50 +`\frac{50}7`= 50 + 7.14 = 57.14