माध्यिका (Median)

आरोही या अवरोही क्रम में सजे हुए किसी श्रेणी के मध्य पद के भाग को माध्यिका कहा जाता है।

आरोही क्रम :- जब संख्याओं को बढ़ते हुए क्रम में लिखा जाता है तो उसे आरोही क्रम (Ascending order) कहा जाता है।

आरोही क्रम का उदाहरण :- जैसे संख्याएं हैं 12, 8, 18, 5, 2, 9 तो इनका आरोही क्रम होगा- 2, 5, 8, 9, 12, 18.

अवरोही क्रम :- अवरोही का अर्थ है घटता हुआ क्रम। अर्थात जब संख्याओं को घटते हुए क्रम में लिखा जाता है तो उसे अवरोही क्रम (Descending Order) कहते हैं।

अवरोही क्रम का उदाहरण :- जैसे संख्याएं हैं- 12, 8, 18, 5, 2, 9 तो इनका अवरोही क्रम होगा: 18, 12, 9, 8, 5, 2

आरोही और अवरोही क्रम में मुख्य अंतर यही हुआ कि बढ़ता हुआ क्रम आरोही क्रम कहलाता है जबकि घटता हुआ क्रम अवरोही क्रम कहलाता है।

माध्यिका में व्यक्तिगत श्रेणी और खण्डित श्रेणी में X को आरोही क्रम में सजा लेना है। जैसे पहले छोटा उसके बाद बड़ा (2,4,8,10,18,19,21) इत्यादि।

माध्यिका ज्ञात करने के निम्नलिखित सूत्र है

व्यक्तिगत श्रेणी (IS)

 Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

or,  Median = Value of  `\frac{5^{th}+6^{th}}2` items

खण्डित श्रेणी (DS)

Median = `\frac{\Sigma ƒ}2`

सतत श्रेणी (CS)

Median = `L_1+\frac{L_2-L_1}ƒ\left(m-c\right)`

n = पदों की संख्या, Σ = कुल जोड़ , ƒ =बारंबारता, L₁ = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा, L₂ = माध्यिका वर्ग की ऊपरी सीमा, m = N/2 माध्यिका पद, c = माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति

(2009) प्रश्न :- निम्नलिखित श्रृंखला को अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करें

           5,16,18,2,13,15,3,19,17,20

उत्तर :- 20,19,18,17,16,15,13,5,3,2

 व्यक्तिगत श्रेणी (IS)

X :- 20,16,18,12,15,22,17,14,21

S,N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	12	14	15	16	17	18	20	21	22

Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

  =`\frac{9+1}2=\frac{10}2=5`

        Median = 17

X :- 20,16,18,13,15,19,17,20,23

S,N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	13	15	16	17	18	19	20	22	22

Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

  =`\frac{9+1}2=\frac{10}2=5`

        Median = 18

X :- 10,20,40,80,160,170

SN	1	2	3	4	5	6
X	10	20	40	80	160	170

Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

  =`\frac{6+1}2=\frac{7}2=3.5`

Median = Value of `\frac{3^{rd}+4^{th}}2` items

 =`\frac{40+80}2=\frac{120}2=60`

खण्डित श्रेणी (DS)

X	5	9	13	17	21	25	29
f	4	7	8	10	9	2	1

X	5	9	13	17	21	25	29
f	4	7	8	10	9	2	1
Cf	4	11	19	29	38	40	41

Median = `\frac{\Sigma f}2=\frac{41}2`=20.5 (cƒ में देखे)

 Median = 17

सतत श्रेणी (CS)

CI	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
f	12	18	27	52	24	6

CI	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
f	12	18	27	52	24	6=139
Cf	12	30	57	109	133	139

m= `\frac{\Sigma f}2=\frac{139}2`= 69.5 (cƒ में देखे)

Median lise between ( 30 – 40 ) in class interval

⸫ l₁ = 30, l₂ = 40, ƒ = 52, c = 57, m = 69.5

= `30+\frac{40-30}{52}(69.5-57)`

= `30+\frac{10}{52}(12.5)=30+\frac{125}{52}`= 30+2.4038

=32.4038

              माध्यिका के गुण

1. यह वितरण के मध्य मूल्य को व्यक्त करता है।

2. यह समझने तथा गणना करने में सरल है।

3. इसे बिंदु रेखा द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

4. यह सीमांत मुल्यों द्वारा प्रभावित नहीं होता है।

5. यह खुले सीरों वाले वितरण के लिए उपयोगी है।

6. गुणात्मक तथ्यों को प्रत्यक्ष रुप से संख्या में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। ऐसी स्थिति में यह एक अच्छी माध्यिका है।

7. इसकी माप तब भी संभव है यदि तथ्य अपूर्ण हों।

8. प्रतिनिधित्व की दृष्टि से यह सबसे अच्छा औसत है क्योंकि यह श्रृंखला के मूल्यों में से ही होता है।

         माध्यिका के दोष

1. माध्यिका ज्ञात करने के लिए आंकड़ों को बढ़ते हुए अथवा घटते हुए क्रम में व्यवस्थित करना जरूरी है। ऐसा करना कई बार कठिन समस्या बन जाती है।

2. यह श्रेणी के सभी आंकड़ों पर आधारित नहीं होता है।

3. इसका प्रयोग अग्रिम बीजगणितीय कार्यों में नहीं किया जा सकता।

4. आंकड़ों की संख्या अधिक होने पर माध्यिका का सही मूल्य नहीं निकलता है।

5. यह निदर्शन के परिवर्तनों से प्रभावित होता है।

6. यह चरम सीमा के मदों की अवहेलना करता है।

7. सतत श्रेणी में इसकी माप कठिन है क्योंकि इसमें अंतर की गणना करनी पड़ती है।

8. यदि विभिन्न मूल्यों की मदों में बहुत अन्तर हो तो यह सही प्रतिनिधित्व नहीं करता।

  विभाजन मूल्य (Partition Values)

माध्यिका व्यवस्थित श्रेणी को दो भाग बराबर भागों में विभाजित करती है। माध्यिका के इसी सिद्धांत के आधार पर श्रेणी को चार, दस या सौ बराबर भागों में भी बांटा जा सकता है। श्रेणी को अनेक भागों में विभाजित करने वाले मूल्यों को विभाजन मूल्य कहा जाता है। चार बराबर भागों में बांटने वाले मूल्य चतुर्थक (Quartiles), दस बराबर भागों में बांटने वाले मूल्य दशमक(Deciles) तथा सौ बराबर भागों में बांटने वाले मूल्य शतमक (Percentiles) कहलाते हैं। माध्यिका के रूप में ही इनकी भी गणना की जाती है। सूत्र -

1. Quartiles (कोटाईल) (चतुर्थक) :- 4

Upper Quartile 3 बार काटता है ,जबकि Lower Quartile 1 बार काटता है।

2. Quintiles (कोन्टाइल) (पंचमक) :- 5

3. Octiles (ओक्टाइल) (अष्टमक) :- 8

4. Deciles (डिसाइल) (दशमक) :- 10

5. Percentiles (पैरसैन्टाइल) (शतमक) :- 100

प्रश्न :- Find lower quartile , upper quartile, 3rd diciles, 6th octiles, 35 Percentiles of the following series ?

X	1	4	9	10	13	17	25	30	35	40	50
ƒ	4	3	6	7	10	5	15	6	4	1	3

Lower Quartiles 

`Q_1=\frac{1\times\Sigma ƒ}4=\frac{1\times64}4=16`

`\therefore Q_1=16` 

Upper Quartiles

`Q_3=\frac{3\times\Sigma ƒ}4=\frac{3\times64}4=48`

`\therefore Q_3=25` 

3^rd Deciles

`D_3=\frac{3\times\Sigma ƒ}10=\frac{3\times64}10=19.2`

`\therefore D_3=10` 

6^th Octiles

`O_6=\frac{6\times\Sigma ƒ}8=\frac{6\times64}8=48`

`\therefore O_6=25` 

35 Percentiles

`P_35=\frac{35\times\Sigma ƒ}100=\frac{35\times64}100=22.40`

`\therefore P_35=13` 

प्रश्न :- कौन सी माप को केवल बढ़ते क्रम में ही व्यवस्थित किया जाता है ?

उत्तर :- माध्यिका में बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है जैसे 2,1,3,4,5

S.N	1	2	3	4	5
X	1	2	3	4	5

Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

  =`\frac{5+1}2=\frac{6}2=3`

     Median = 3

20,16,18,12,15,22,17,14,21

S.N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	12	14	15	16	17	18	20	21	22

Median = Value of  `\frac{n+1}2` items

  =`\frac{9+1}2=\frac{10}2=5`

        Median = 17